FIBONACCI

La raó àurea en el cos humà

Hem realitzat un parell de pràctiques amb el geogebra, i ara decidim començar a buscar on s'observa la raó àurea en el cos humà.

Comencem per un experiment senzill en el que posem en relació l'altura d'una persona, la distància entre el melic i els peus i la distància entre el melic i el cap.

Demanem la col·laboració dels companys de la classe i realitzem les primeres mesures.

Els resultats són els següents :

h	n	m	h/n	n/m
182	108	74	1,685185185	1,459459459
175	110	65	1,590909091	1,692307692
185	113	72	1,637168142	1,569444444
161	101	60	1,594059406	1,683333333
160	98	62	1,632653061	1,580645161
170	106	64	1,603773585	1,65625
165	97	68	1,701030928	1,426470588
171	104	67	1,644230769	1,552238806
164	97	67	1,690721649	1,447761194
180	115	65	1,565217391	1,769230769
176	109	67	1,614678899	1,626865672
168	105	63	1,6	1,666666667
184	111	73	1,657657658	1,520547945
161	100	61	1,61	1,639344262
170	102	68	1,666666667	1,5
159	94	65	1,691489362	1,446153846
168	106	62	1,58490566	1,709677419
163	100	63	1,63	1,587301587
168	105	63	1,6	1,666666667
167	101	66	1,653465347	1,53030303
187	113	74	1,654867257	1,527027027
168	106	62	1,58490566	1,709677419
186	111	75	1,675675676	1,48
			Mitjana d'h/n	Mitjana d'n/m
			1,633446147	1,584668391

El resultat esperat hauria de ser el següent :

Que és la raó mitja que va observar Zeysig al estudiar diferents cossos humans i realitzar el mateix experiment.

Podem veure que el nostre resultat no és exactament al mateix, ja que en algunes mesures comptem amb alguns marges d'error.

Ara ens proposem tornar a realitzar experiments semblants amb més exactitud i trobar aquesta raó a diferents parts del cos humà.

Avui hem volgut crear, a partit d'altres figures, l'espiral àuria.
A les entrades anteriors podeu observar com és l'espiral i els quadrats que la formen.
Gràcies un altre cop al llibre, "EL PENTAGONO" utilitzem altres formes geomètriques per crear l'espiral, en aquest cas, una serie d'estrelles.

Aquesta conclusió l'obtenim casualment un dia que dedidim reunir-nos al laboratori ja que estem una mica estancades.
Un cop allà decidim documentar-nos una mica per saber per on seguir i agafem un dels llibres que ens ha proporcionat en Jaume com a font d'informació.

A la pàgina 45 del llibre : EL PENTÁGONO d'Aldo Montù, trobem un parell d'espirals auris.
Ens fixem bé en les proporcions i decidim mesurar-los.
Per sorpresa nostre, observem que, aproxidament les mides resultats dónen lloc a la successió de Fibonacci.
Tot i això, com que les mides no són totalment exactes, decidim dur a terme l'experiment amb el geogebra, i els resultats són els següents :

Vam realitzar l'experiment dos cops, ja que la primera vegada vam cometre l'error d'utilitzar quadrats i rectangles, i així la regla del nombre d'or i per tant tampoc la successió de Fibonacci es cumplien.

Tenint en compte l'error, repetim l'experiment i obtenim els següents resultats :

CONCLUSIÓ :
El nombre d'or està directament relacionat amb la successió de Fibonacci i està format per quadrats regulars.
Si disposem els quadrats seguint la successió de Fibonacci al dibuix observem que es forma l'espiral auri, tan característic del nombre d'or.

L'espiral àuria

Ens ha cridat molt l’atenció que un cargol normal pogués tenir proporció àuria, i encara més que es pogués aconseguir a partir de quadrats seguint la successió de Fibonacci, així que hem decidit de fer-ho per nosaltres mateixes fent servir el Geogebra, avui comencem l’experiment.

Successió de Fibonacci

 El nombre d’or és una seqüència de nombres a partir de la successió de Fibonacci 

n   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

F(n)   1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

 

En el gràfic podeu veure que el nombre de parelles al llarg dels mesos coincideix amb els termes de la successió: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....

No cal ser un geni per veure que cada terme és la suma dels dos anteriors, però existeix entre ells una relació curiosa, el quocient entre cada terme i l'anterior s'acosta cada vegada més a un nombre especial, ja conegut pels grecs i aplicat a les seves escultures, el nombre d'or = 1.618039....

Podem construir una sèrie de rectangles utilitzant els nombres de la successió.

Primer fem un quadrat de costat 1 que són els dos primers termes de la successió.

Construïm un altre d'igual sobre ell i ja tenim un primer rectangle de Fibonacci de dimensions 2 x 1.

Sobre el costat de dos unitats construïm un quadrat i tenim un nou rectangle de 3 x 2.

Sobre el costat més gran fem un altre quadrat i ja tenim ara un rectangle 5 x 3, un 5 x 8, un 8 x 13, un 13 x 21... i així successivament. Com més avancem en aquest procés més ens acostarem al rectangle d'or.

Per una altra banda si unim els vèrtexs d'aquests rectangles se'ns formarà una corba que ja resulta més familiar, l'espiral de Durero. Una espiral que té una forma molt ajustada a la carcassa dels malucs, a les banyes dels rumiants... és a dir la forma de creixement natural.

 Aquest video ens ha ajudat molt a entendre-ho.